Корректно дефисное написание: по-сырому, по-мокрому. Кавычки не нужны.
Есть как минимум два поселка с такими названиями, при этом ударение в них падает на разные слоги. В Тюменской области — Боровский, в Казахстане — Боровской.
Как название организации сочетание нужно писать в кавычках.
Склоняется только последняя часть: джек-рассел-терьера, джек-рассел-терьеру и т. д.
Корректно: программа «Музеи Русского Севера».
Нам не удалось вспомнить случаев, где Москва как название города не склонялось бы.
А в чём сложность? Склонение этих названий ничем не отличается от изменения по падежам других существительных второго (по школьной грамматике) склонения: Севастополя, Севастополю; города Севастополя, городу Севастополю.
Орфографический словарь В. В. Лопатина, И. В. Нечаевой, Л. К. Чельцовой «Прописная или строчная?» фиксирует такое написание названия праздника Нового года в иудаизме: Рош-Хашан.
Склоняется: в Реутове.
