Нет, запятая не нужна.
Это выражение корректное, хотя и канцелярское.
Корректно: 1-е место в соревнованиях по баскетболу.
Слово «Ментос» склоняется согласно грамматическим правилам русского языка по второму склонению. Форма множественного числа потенциально возможна (ментосы) и может употребляться в окказиональных контекстах.
В терминологическом значении слово здоровьесберегающий пишется слитно: здоровьесберегающие технологии, здоровьесберегающие методы обучения.
Думаем, лучше: косметологическое оборудование (медицинское), косметологический салон (такой, в котором применяются методы косметологии).
Словосочетание корректно. Экономика труда - наука, изучающая социально-трудовые отношения и методы управления ими.
Действительно, есть нестыковка в определениях. Хотя в хосписе могут исследоваться методы медико-социальной и психологической помощи.
