Ни первый, ни второй вариант не представляется корректным, к тому же какие-либо стилистические и содержательные особенности текста, в котором словосочетание может быть употреблено, нам не известны. Рекомендуем обратить внимание на то, что выражение уголовное дело является юридическим термином с устоявшимися традициями употребления, в том числе в сочетании с именами существительными; ср. типичные обороты: уголовное дело по статье / по факту / в отношении и т. д.

Сочетание острый как бритва отсутствует в словарях фразеологизмов. Единственный источник, в котором это сочетание приведено в числе устойчивых, — перечень в параграфе 42.4 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя. Отмечено, что перечень составлен не только по данным словарей, но и «по наблюдениям над текстами разных жанров». В такой ситуации следует допустить оба варианта пунктуационного оформления — с запятыми и без них. 

Слово логарифм пришло к нам из французского языка (фр. logarithme), в котором восходит к греческим словам logos (λόγος) 'слово, понятие, учение' и arithmos (ἀριθμός) 'число'. Получается, что буква а в словае логарифм — это первая буква второго греческого корня. Самое что ни на есть справедливое написание, отражающее историю слова. Поэтому менять орфографию слова логарифм не планируется.

В справочнике приведен только пример, в котором за указательным местоимением не следует зависимой от него придаточной части (да она и не может следовать в таких случаях): Это кабинет? Это спальня? (Ч.). Наблюдения над практикой письма показывают, что в случаях, подобных приведенному Вами, тире обычно ставится, однако ни на какой справочник здесь сослаться невозможно. При оценивании проверочных работ такие случаи целесообразно выводить из подсчета ошибок.

Правильно раздельное написание: Тем, кто дружен, не страшны тревоги. Обратите внимание: «синонимичное выражение», которое Вы называете, тоже содержит слово «не», подобрать синоним без «не» не получается. Это говорит о том, что здесь не создается новое понятие, здесь акцент на отрицании (отрицании страха). Ученикам можно так и объяснить: пишем раздельно, потому что перед нами отрицание признака, а не утверждение нового понятия.

Устойчивой нормы пока нет, разнобой в отношении кавычек понятен: одними пишущими сочетание осознается как новое, непривычное, такое, на которое следует обратить внимание читателя, другими — как ставшее уже знакомым и понятным. Поэтому окончательное решение следует оставить за автором. В текстах для подготовленного читателя, знакомого с использованием сочетания синяя экономика или голубая экономика в данном значении, можно писать без кавычек. В остальных случаях кавычки будут уместны.

В справочниках по русскому языку (в том числе у Д. Э. Розенталя) есть правило, которое дает прямой ответ на Ваш вопрос.

Гласные о — а в неударяемых корнях глаголов совершенного вида нельзя проверять формами несовершенного вида на -ывать (-ивать), например: опоздать (по́здний, хотя опа́здывать), раскроить (кро́йка, хотя раскра́ивать).

Таких примеров десятки. К сожалению, в школе об этом правиле часто не говорят, поэтому и возникает недопонимание.

Слово брошь пришло к нам из французского языка, в котором оно восходит к итальянскому brocca 'иголка'.

Слова дурак, дура образованы от общеславянского корня *dur. По одной из версий, он восходит к индоевропейской основе *dheu(e)r 'бушевать; вертеться; спешить' (в таком случае дурак исходно 'сумасшедший, бешеный' и далее 'глупый, дурной'), по другой версии, связан с основой дуть. К латинскому 'суровый' русское дурак, дура не имеет никакого отношения (такая версия, действительно, дилетантская).