Род слова предтеча зависит от контекста, в котором оно употребляется. Слово предтеча с согласуемым одушевленным существительным употребляется только как существительное мужского рода, а с неодушевленным существительным – только как существительное женского рода.
Эти слова - синонимы, обычно они взаимозаменяемы.
Здесь правильно: в отсутствие.
Ошибки не видим.
Правильно: в упоеньЕ.
Верно: в городе Туле, в г. Туле. См. «Письмовник».
И в этом случае кавычки не нужны. Географические названия (в том числе названия поселков) в кавычки не заключаются. Что касается склонения топонима, то справочные пособия рекомендуют не изменять по падежам название, когда род обобщающего нарицательного слова и топонима не совпадают. Поэтому предпочтительно: в поселке Росинка.
