Такого правила не существует (точнее, оно может быть изобретено в редакции газеты, но не будет соответствовать нормам русского правописания). Названия высших государственных должностей (неважно, своей страны или чужой) пишутся с большой буквы только в текстах официальных документов (Указ Президента Российской Федерации). В газетном тексте правильно: президент России и президент Украины или президенты России и Украины.
Слова в то же время не являются предлогом. Оборот с предлогом в соответствии с в данном случае нужно выделить запятыми.
Кубок пишется с прописной как первое слово названий спортивных наград, соревнований: Кубок Дэвиса, Кубок России по футболу. Ср.: Межконтитентальный кубок (не первое слово названия), пить победное шампанское из кубка (здесь кубок в знач. 'сосуд').
Верно написание строчными буквами.
Верно написание со строчной: интернет-образование.
Правильно раздельное написание.
Форма круч пишется без мягкого знака.
Корректно слитное написание.
Лучше поставить тире. Слова со дня рождения лишние.
Сокращенные наименования министерств пишутся с большой буквы: Минрегион, Минздрав, Минфин и т. п.
