Наталья Владимировна, рады Вам. С прошедшим!
На возможность двоякого склонения личных имен Ия, Лия, Вия, Тия, Гия (муж. груз.) указывает еще Л. П. Калакуцкая в работе «Фамилии. Имена. Отчества. Написание и склонение» (М., 1994). Она пишет, что эти имена могут склоняться: а) с окончанием -е в дательном и предложном падежах (к Лие, о Лие) и б) по образцу имени Мария (т. е. к Лии, о Лии). Так что написание о Лие было зафиксировано задолго до начала работы над новым справочником.
На наш взгляд, учительница может объяснить детям, что такие короткие двух-трехбуквенные имена, как Ия, Лия, являются исключениями и могут быть написаны как с и на конце, так и с е на конце.

Тире совершенно не обязательно. В неполном предложении тире ставится только при наличии интонационной паузы.

См. здесь.

Замечание редактора, на наш взгляд, необоснованно. Постскриптум – это приписка в письме после подписи (такое определение – в «Толковом словаре иноязычных слов» Л. П. Крысина). После постскриптума вторая подпись не ставится. Вот пример концовки письма, приведенный в пособии А. Акишиной, Н. Формановской «Этикет русского письма» (М.: Русский язык, 1986):

Целую.
Всегда твоя Валя
P.S.  Совсем забыла написать, что вчера встретила Олега. Он передавал тебе большой привет. Еще раз крепко целую.

А вот концовка письма А. П. Чехова М. М. Чехову от 25.08.1877 (Чехов А. П. Полное собрание сочинений и писем: В 30 т. Письма: В 12 т. / АН СССР. Ин-т мировой лит. им. А. М. Горького – М.: Наука, 1974–1983. Т. 1. Письма, 1875—1886. – М.: Наука, 1974. С. 26):

Кланяйся Грише и Лизе. (А если другая сестра в Москве, то и ей.) Прощай, будь здоров и богат, твой брат

А. Чехов.

Если будут деньги, то на Рождество увидимся.

Отправная точка Вашего рассуждения — утверждение, будто словосочетание сердце погоста является неделимым. Но здесь неизбежно возникает вопрос: на каком основании делается это утверждение? Кижский погост, как и Преображенская церковь, — цельные собственные наименования, они действительно являются синтаксически неделимыми словосочетаниями. Сердце погоста таким наименованием не является. А если бы было сказано Центром Кижского погоста...; Жемчужиной Кижского погоста... — Вы тоже сочли бы словосочетания центр погоста, жемчужина погоста неделимыми? Для этого нет никаких оснований. Тот факт, что существительное сердце употреблено в переносном значении, отнюдь не является основанием для того, чтобы считать словосочетание неделимым.

Таким образом, Ваша претензия к сборнику безосновательна, относительно сказуемого в данном предложении в нем всё сказано верно.

Непростой вопрос. В толковых словарях фиксируется только прилагательное доказательный, для которого указывается два значения: 'содержащий очевидные доказательства, убедительный' и 'использующий, приводящий серьезные, неоспоримые доказательства (обычно в краткой форме)'. Между тем в орфографических словарях слово доказательственный фиксируется, а в речевой практике встречается как сочетание доказательная база, так и доказательственная база. Этими сочетаниями называют совокупность доказательств, совокупность данных для доказательства. Соответственно, возможны оба сочетания.

Такая пунктуация возможна. Хоть слово значит здесь и является союзом (точнее – частью двойного союза «если... значит»), в подобного рода конструкциях после него очень часто ставят запятую. Объясняется это тем, что союз значит сближается по значению с вводными словами «следовательно», «таким образом». В некоторых справочниках рекомендуется не ставить запятую после значит в подобных конструкциях, но на практике, вопреки рекомендациям справочников, ее всё же ставят.

Согласны с Вашим замечанием, нужно писать «Манчестер юнайтед». Тем более что есть фиксация в «Словаре собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко именно с таким написанием.

Что касается прописной буквы во втором и последующем слове собственного иноязычного наименования, то справочники делают исключение только для названий зарубежных информационных агентств: Франс Пресс, Пресс Интернэшнл и т. д. В остальных случаях используется строчная буква.

Слово гражданка, безусловно, есть в русском языке. Однако, несмотря на свободное образование таких слов, как гражданка, студентка, учительница и т. д., они используются не во всех стилях речи. В строгой официально-деловой речи по отношению к лицам женского пола нередко используют слова мужского рода. Видимо, требование администрации связано с тем, что речь идет о базе данных, где всё должно быть четко, строго и единообразно.