См. ответ на вопрос № 274748.
Вариант за водой общеупотребительный и стилистически нейтральный, вариант по воду уместен в народно-поэтической речи.
Фраза корректна.
Употребительнее: забросили удочки.
Поиграл в игру — тавтология, однако она может быть не только лексической ошибкой, но и приемом выразительности.
Не просто дождь и плюсовая температура, а погода, и впрямь настраивающая флору на пробуждение.
Вторая точка не нужна.
Согласно «Морфемно-орфографическому словарю» А. Н. Тихонова в слове пренебрегать в современном русском языке приставка пре- не выделяется, слово состоит из корня пренебрег- и суффиксов -а- и -ть. Таким образом, две первые гласные е попадают в категорию непроверяемых. Однако история слова показывает нам, почему в нем пишутся гласные е.
Слово пренебрегать исторически образовано из приставок пре- и не-, а также корня -бере- (беречь, бережливый). В современном русском языке смысловая связь слова пренебрегать со словами беречь, бережливый оказалась утраченой. Слово оторвалось от своих корней и зажило собственной жизнью, оно перестало восприниматься носителями русского языка как однокоренное со словами, которые содержат корень -бере-. Поэтому произошло и переосмысление его структуры. Однако орфография сохраняет для нас связь с прошлым этого слова.