Верно: под подпись. См. в «Словаре трудностей».
По сути в первом варианте речь о конце суток (это 00:00 8 мая), а во втором - об их начале. Корректен второй вариант.
Если месяц не указан, наращение нужно: Что вы делали 4-го?
Правильно: на пол (уронить, упасть, лечь и т. д.).
Кажется, нет. Неясно, что это сочетание могло бы значить...
Правильно: города Чайковского. Подробные рекомендации см. в «Письмовнике».
Правильный вариант: Представляем генерального спонсора забега «Ласковый май» — девелоперскую компанию «Люди». Обратите внимание, что условное наименование мероприятия (забега) заключается в кавычки, а сочетание девелоперская компания пишется со строчной буквы.
Правильно без точки после кавычек, поскольку прямая речь оканчивается знаком конца предложения, в данном случае вопросительным.
