Верно: с мятежным Севером.
Нельзя. Внести свою лепту значит 'принять посильное участие в каком-либо деле'. Не может быть «нового посильного участия» и «старого посильного участия».
Это вопрос дискуссионный, потому что само понятие знак препинания может быть истолковано по-разному. В целом система знаков препинания в русском письме уже сложилась и существенных изменений не претерпевает. Но в каком-то смысле новым знаком препинания можно назвать смайлик, передающий на письме интонацию, эмоции. Кроме того, в последнее время существенно расширились функции знака / (косая черта). Если раньше косую черту можно было встретить лишь в формулах, то сейчас этот знак всё чаще встречается в письменных текстах в функции близкой к союзам и и или, как знак альтернативности понятий или обозначения единого сложного понятия. Можно ли считать его знаком препинания? В полном академическом справочнике «Правила русской орфографии и пунктуации» (М., 2006) употребление этого знака описано в части «Орфография» (раздел «Правила употребления небуквенных знаков»), но оправданно и определение его как несистематического знака препинания. См. статью С. В. Друговейко-Должанской «Знаки "препинания"».
Правильно: старый Новый год.
Верно: у меня есть четыре новые (новых) юбки.
Пока новые авторитетные словари сохраняют рекомендацию не склонять это слово.
Запятая нужна.
Правильно: построили 317 новых грузовых самоходных судов.
