Следует писать с запятой.
Вот выдержка из "Справочника русской орфографии и пунктуации" под ред. В. В. Лопатина.
Вопросительно-восклицательные слова (частицы или их сочетания) что, что ли, ну как, что же, как же, ну, а, да ну, надо же выделяются запятыми внутри предложения или отделяются запятой, если стоят в начале предложения: — Сыночек, что, шибко он его зашиб-то? (Шукш.); — Что, хороша? — громко крикнула охрипшим голосом Маргарита Николаевна (Булг.); — Ну что ж, входите, раз звонили! — сказала девица (Булг.); Ну как, решил задачу?
А в справочнике Д. Э. Розенталя говорится следующее.
Слова что, а что, что же, обозначающие вопросы, и слова как, как же, что же, выражающие удивление, подтверждение, согласие и т. п., за которыми следует предложение, раскрывающее их конкретный смысл (после них делается пауза), отделяются запятой...
Ты что же, не идешь с нами?
По структуре это простое предложение.
Запятая между частями сложносочиненного предложения (перед и) не ставится, так как обе части представляют собой побудительные предложения.
Да, именно так. Мужская фамилия Дробот склоняется, женская – нет.
Если авторам предварительно было направлено требование, то допустим первый вариант. Если некие лица направили авторам обращение, то в этом случае говорить об удовлетворении не вполне корректно. Возможно, в обращении содержатся те или иные просьбы, а следовательно, именно их необходимо иметь в виду при изложении отсутствующих оснований.
Названия микрорайонов в кавычки не заключаются.
То, что в законе слова зимние и Олимпийские переставлены местами (видимо, под влиянием англ. Olympic Winter Games), вовсе не делает неправильным сочетание зимние Олимпийские игры (тем более если имеется в виду не сочинская Олимпиада, а другие соревнования, например прошедшие Игры в Ванкувере). Об Играх в Сочи: если речь идет об официальном документе и необходимо точное соответствие с формулировкой в законе, тогда верно: XXII Олимпийские зимние игры; вне такого употребления представляется целесообразным использовать традиционный для русского языка порядок слов: зимние Олимпийские игры.
В первом предложении запятая не требуется, это простое предложение с однородными сказуемыми.
В предложении о Гагарине запятая нужна, так как это сложное предложение. Подлежащие здесь: Гагарин и он. Но следует сказать, что в целом предложение составлено некорректно (местоимение он обычно указывает на ближайшее существительное мужского рода, а это существительное космос, а не Гагарин). Фразу следует перестроить.
