Правильно: на Кипре.
Верен первый вариант.
Оба варианта верны.
Верно: плохо себя чувствую.
В непринужденной разговорной речи такое употребление возможно.
В таком изолированно взятом предложении тире не требуется. Возможно, в определенном контексте будут уместны иные пунктуационные решения.
В значении "тошнить" глагол рвать употребляется только как безличный: К вечеру больному стало совсем плохо, его постоянно рвало.
См. ответ на вопрос 318895.
Запятая требуется только перед союзом то бишь: Он находится лицом к девушке и начинает идти назад, то бишь ведя ее вперед.
Наличие союза что не влияет на знаки препинания при слове безусловно. Подробнее о пунктуации в этом случае см. в "Справочнике по пунктуации". Верно: Я увидел его с иной стороны, что, безусловно, меня поразило.
