Корректно написание со строчной буквы: троянский конь. Это устойчивое выражение, давно закрепившееся в языке. См. словарную фиксацию.
Выражение свойственно обиходной разговорной речи; ср. также обороты операция на глаза / ноги / колени / вены и т. д.
Это разговорное выражение, поэтому в стилистически нейтральном контексте кавычки будут уместны (для выделения сочетания, принадлежащего другому стилю).
Представлять из себя – разговорное выражение. Стилистически нейтрально: представлять собой. Поэтому в письменной речи лучше выбрать вариант представляет собой.
Само по себе это выражение не требует постановки знаков препинания. Оно обособляется, только если этого требует строй предложения.
Само по себе это выражение не требует постановки знаков препинания. Пунктуация в конкретных случаях зависит от строя предложения
Это авторское выражение. Вот стихи Осипа Мандельштама:
Нам с музыкой-голубою
Не страшно умереть,
Там хоть вороньей шубою
На вешалке висеть...
Глагол стагнировать существует (правда, словообразовательная модель иная: существительное образовано от глагола, а не наоборот). Предложенное Вами выражение корректно.
