Правильно: полощу, прополощи, прополоскай. Допустимо: полоскаю.
Запятая не нужна. Нет оснований для ее постановки.
Форма изъявительного наклонения: пишете (вы пишете правильно); форма повелительного наклонения: пишите! (пишите правильно!)
Запятая нужна.
В значении 'прожить, пробыть где-либо или каким-либо образом' правильно: провести что: как я провел это лето. Это очевидно для любого грамотного носителя русского языка – разумеется, и для создателей фильма «Как я провел этим летом» тоже. Отсюда следует, что в названии фильма (которое, на первый взгляд, содержит явную грамматическую ошибку) «неправильное» управление не случайно – это своего рода загадка, разгадать которую предложено нам, зрителям (по-видимому, после просмотра фильма станет ясно, почему он так называется).
Запятая не нужна.
Тире не требуется: Я профессор кафедры маркетинга.
Вполне.
Корректно без запятой: Я отдал бы все что угодно.
Следует писать слитно.
