Для вводных слов, стоящих в начале или в конце обособленного оборота, действительно есть особое правило. Оно изложено в параграфе 93 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.). По этому правилу знаки препинания в предложении должны быть расставлены так, как в материалах, на которые Вы ссылаетесь: Посреди поляны росло большое дерево, судя по всему вяз. 

Вы правы, для оформления цитаты как прямой речи здесь нет оснований. Оформить её как вставную конструкцию будет вполне уместно.

Возможны такие варианты:

Удивляют соседи, — с одной стороны, понимающие важность раздельного сбора мусора, а с другой стороны, ничего для этого не делающие.

Удивляют соседи, — с одной стороны, понимающие важность раздельного сбора мусора, а с другой — ничего для этого не делающие.

Радуют соседи, — во-первых, сами понимающие важность раздельного сбора и, во-вторых, агитирующие других разделять мусор.

Он удивил меня, — во-первых, поздоровавшись с собакой, а во-вторых, кивнув головой коту.

В переводах на русский язык сказки Г. Х. Андерсена слово русалочка обычно пишется со строчной буквы как нарицательное существительное. Главная героиня — одна из шести принцесс-русалочек: Все шесть принцесс были прехорошенькими русалочками, но лучше всех была самая младшая, нежная и прозрачная, как лепесток розы, с глубокими, синими, как море, глазами. Но и у нее, как у других русалок, не было ножек, а только рыбий хвост. Чтобы выделить главную героиню, в тексте используется нарицательное существительное с указательным местоимением: Странное дитя была эта русалочка: такая тихая, задумчивая... 

Автор и переводчик могут использовать нарицательное существительное в качестве имени персонажа, но в этом случае оно вводится в текст как имя собственное. Например, в баснях И. А. Крылова, герои сразу появляются под своими именами: 

Проказница-Мартышка,
Осел,
Козел,
Да косолапый Мишка
Затеяли сыграть Квартет.

Вороне где-то бог послал кусочек сыру;
На ель Ворона взгромоздясь,
Позавтракать-было совсем уж собралась,
Да позадумалась, а сыр во рту держала.
На ту беду Лиса близехонько бежала...

В научных работах об орфографии собственных имен отмечается, что при упоминании того или иного персонажа литературного произведения в другом произведении статус имени может меняться. Например, в сказке А. С. Пушкина «Сказка о мертвой царевне и семи богатырях» сочетание мертвая царевна не является именем собственным, но если в другом произведении говорится именно об этой мертвой царевне, то автор вправе отнестись к нему как к имени собственному, и тогда правомерно написание Мертвая царевна. В сказке Шарля Перро «Кот в сапогах» действует герой кот (кот спустился с крыши, но кот – на то ведь он и кот – погнался за ней [мышью]), и только в других текстах при отсылке к этой сказке ее герой именуется Кот в сапогах (Арутюнова Е. В., Бешенкова Е. В., Иванова О. Е. Русское правописание с комментариями (в 4-х кн.). Книга 4. Прописные и строчные буквы в собственных именах. Графические сокращения. М., 2023).

В этом случае, конечно, прямой речи нет, Ваш вариант пунктуации корректен. Но нужно также проверить, насколько однозначно фраза будет воспринята читателем.

В этой сугубо разговорной конструкции деепричастие не поднимая играет роль несогласованного определения: сброс (какой?) не поднимая. Будет логичным не ставить перед ним запятую.

Корректно: Уралмаш обыграл МБА со счётом 77 : 55.

Обороты со словами по (чьему-либо) мнению... указывают на источник сообщения и являются вводными выражениями. Они обособляются и в начале, и в середине, и в конце предложения. Подробнее см. в "Справочнике по пунктуации".

В этом предложении нет необходимости использовать одно и то же местоимение несколько раз, поэтому с точки зрения стилистики следует убрать повтор. Второй вариант лучше, чем первый.