Оба варианта возможны, есть разница в значении: употребление предлога на подчеркивает, что речь идет о поверхности. Ср.: лечь в кровать и уснуть – лечь на кровать в одежде.
Мужской род уместен в строгой деловой речи, где важно сообщить о должности безотносительно к полу (например, в приказе: назначить заведующим детским садом Иванову...). В обиходной письменной и тем более устной речи верно: заведующая детским садом Иванова.
Верно: в отделение.
Верно: Храмовая гора.
Верно: участвовать в торгах.
Правильно: в созданном им институте (предложный падеж). Но: созданным им институтом (творительный падеж).
Правильно: многофакторный.
Возможно слитное и раздельное написание. Слитно пишется наречие вдаль (глядеть вдаль), раздельно – сочетание предлога с существительным (в даль моря, в даль веков, в даль прожитых лет, всматриваться в даль).
Разграничить случаи слитного и раздельного написания иногда очень сложно. Подробнее см. в статье Н. Б. Кошкарёвой «Куда уходит дорога? И куда уходит жизнь? (о слитном / раздельном написании вдаль и в даль)» во втором выпуске сборника научных трудов по материалам Тотального диктанта.
Верно: В открытом и закрытом грунте.
Правильно: метастазов.
