Да, календарь, подаренный на Новый год, можно назвать новогодним. Слово "новогодний" относится ко всему, что связано с празднованием Нового года.
В школьной методике преподавания русского языка такой вывод в принципе возможен. Но он слабо отражает реальное положение дел. Правильнее было бы обойти этот вопрос в школе, чтобы потом вернуться к нему в вузе (т. е. решить его, руководствуясь более обширными знаниями о морфемных исторических чередованиях).
Корректна форма ед. числа: В клинике появилось новое оборудование на сумму...
Запятая нужна.
В этом случае также следует писать без запятой.
В значении "в случае необходимости" корректно: при необходимости. По необходимости = "по мере возникновения необходимости" или "по причине необходимости".
1. Корректно: я-концепция. См. также ответ на вопрос № 258690.
2. Возможно единственное и множественное число сказуемого. Подробные рекомендации см. в «Письмовнике».
