Правильно: Давай будем писать друг другу письма.
Согласно «Этимологическому словарю русского языка» М. Фасмера (М., 1987) обычно происхождение слова товарищ объясняют из тюркского tavar — 'имущество, скот, товар'. Другая тюркская этимология: от чув. tavra 'по кругу' + iš 'спутник'.
Понятно, что маневры автомобилей бывают разными, в частности заезд на круг, движение по кругу и на круге, выезд с круга. Что подразумевает упомянутая Вами фраза, не вполне ясно.
Истеблишмент – правящий, привилегированный круг людей, преимущественно в общественно-политической сфере, а также вся система власти (государственные, экономические, общественно-политические институты и организации), с помощью которых они осуществляют свое господство. Употребляется как существительное муж. рода.
Глагол вырезывать устаревает, выходит из употребления. В современном русском языке вместо него употребляется глагол несовершенного вида вырезать. Давайте вырезывать круг – не ошибка, но в современном языке (особенно в живой речи) такое употребление уже выглядит не вполне уместным.
Специального правила для склонения названий пещерных городов Крыма, конечно, нет. Есть общие закономерности склонения и практика употребления. Названия Тепе-Кермен и Бакла склоняются, см., например, статьи в «Большой российской энциклопедии» «Крым» (ср. близ Эски-Кермена) и «Бакла».
У существительного крем-мыло склоняется только вторая часть (крем-мыла, крем-мылом и т. п.), так как первая часть (крем) приближается по значению к соответствующему прилагательному (кремовое). Ср.: интернет-кафе, компакт-диск и т. п. У существительного мыло-пенка склоняются обе части (мыла-пенки, мылом-пенкой и т. п.).
Вариант примеры-иллюстрации противопоставляют друг друга некорректен.
Ударение в слове гиппогриф падает на последний слог: гиппогри́ф.
См.:
|
|
В стране, где гиппогриф веселый льва |
[В. А. Комаровский. «Гляжу в окно вагона-ресторана...» [Итальянские впечатления, 4] (1913)];
|
За Ливѝйской, в камѐньях, живѐт гиппогрѝф. |
|
В этом кра̀е, Бо̀гом забы̀том, |
|
На рассвѐте, по кру̀чам, ― и с кру̀чи в обры̀в, ― |
|
Слышен цо̀кот его̀ копы̀та. |
[Б. А. Нарциссов. Гиппогриф : «За Ливийской, в каменьях, живет гиппогриф...» (1958)]
[Б. А. Нарциссов. Гиппогриф : «За Ливийской, в каменьях, живет гиппогриф...» (1958)].