Деепричастие может быть употреблено без пояснения, если контекст ясен и не вызывает двоякого толкования. Однако в Вашем примере два деепричастия различаются синтаксическими особенностями: изучая предполагает беспредложное дополнение, а погружаясь — предложное. Оставить первое деепричастие без дополнения можно лишь в случае совпадающего управления, то есть совпадающих форм зависимых слов; ср.: изучая и глубоко постигая математику. 

Наречие высокопрофессионально соответствует нормам русского литературного языка, ср.: Профанация, вовсе уже неуместная ныне, когда часть писателей работает так высокопрофессионально, так глубоко и серьезно исследует действительность, осмысливает жизнь и самое мысль, и литературное движение в стране, упорный поиск в духовном бытие народа, в нравственном развитии общества (В. Астафьев. Зрячий посох). 

Оно образуется от прилагательного высокопрофессиональный.

Нет, такого слова нет в русском языке.

Правильно: андалузец и андалусец, андалузский и андалусский.

Склоняются следующим образом: Цхакая - Цхакаи - Цхакае - Цхакаю - Цхакаей - о Цхакае.

Прилагательное божественный пишется с большой буквы только в ограниченном числе сочетаний (например, Божественная литургия), когда это слово соотносится с существительным Божество (с большой буквы). Слово божественность также нужно писать с большой буквы лишь в весьма ограниченном количестве случаев (в специальном религиозном контексте).

Слово долговечный образовано от слов долго и вечный. Способ словообразования — сращение. При анализе любого производного слова, в том числе и некоторых сращений, следует иметь в виду, что значение производного слова не всегда является суммой значений производящих компонентов. В словах-сращениях компоненты мало­, высоко­, глубоко­, долго означают низкую или высокую степень признака и могут включать компоненты, которые в свободных словосочетаниях лексически несовместимы.

Фраза Я правильно понимаю? имеет право на существование. Она применяется в ситуациях, когда говорящий хочет удостовериться в корректности своего понимания информации или ситуации. Первое значение глагола понять — «усвоить, сделать принадлежностью своего сознания смысл, сущность, значение и т. п. чего-л.», и в этом значении глагол может сочетаться с наречиями, указывающими на субъективность понимания: плохо, хорошо, правильно, неправильно, приблизительно, глубоко, поверхностно, по-своему и т. д. 

Правильно: преданы Родине. Прилагательное преданный в краткой форме пишется с одним н, если есть дополнение. Ср. без дополнения: девочка добра и преданна.

Приложение присоединяется дефисом: прошлое-магнит. Но можно написать через тире, если рассматривать оборот как пояснение: укроемся за прошлым - магнитом.