С точки зрения норм современного русского литературного языка корректно: в главном бальном зале дворца.
Обе конструкции возможны. Ср.: Здесь горел огонь, вокруг которого теснились женщины и дети разного возраста. В. Обручев, Земля Санникова. «Васька едет на дачу!» – пронеслось по двору, где играли дети разных возрастов. Д. Мамин-Сибиряк, В каменном колодце.
Сокращенные названия этих организаций корректно писать с большой буквы.
Верно дефисное написание (в значении "сдвигающиеся двери") или раздельное (в значении "двери помещения в вагоне").
Большой толковый словарь
Пронырливый, хитрый, ловкий. У. мужик. У. хозяйственник. До чего же ушл и подл!
Такое употребление может встречаться в непринужденной разговорной речи, но по правилам литературного языка верно: Найди что-нибудь, чтобы сломать дверь.
Верно: банка спрайта (в разговорной речи при упоминании напитка) и банка "Спрайта" (при указании на торговую марку).
