Верно: обучение проводится на русском и государственном языке; на русском и государственном языках.
Приведите, пожалуйста, более обширный контекст.
Верно: ходатайство о чём-либо, поэтому: ходатайство об обучении.
Оба варианта возможны.
Правильно: обучение (чему?) написанию изложения.
Оба варианта неудачны. Можно грамотно говорить, писать, изъясняться по-английски, по-русски.
Допустимо: обучение через Интернет, в Интернете, с помощью Интернета.
Корректное название школьной медали - "За особые успехи в учении".
Корректно: Пять проектов прошли на областной этап.