Прозвища пишутся с большой буквы: Эдуард Святой (обычно прозвище стоит после имени), но святой Эдуард (о канонизированном церковью святом).
В уменьшительных формах имен используется суффикс -ечк-, а не -ичк-. Правильно: Венечка (от имени Вениамин). Но при этом написание имен с суффиксом -ичк- широко распространено, главным образом в частной переписке. Так, герой поэмы "Москва - Петушки" В. Ерофеева - Веничка. Имя Эдичка (от Эдуард, Эдвард) пишется через И под влиянием промежуточной формы – Эдик.
См. в учебнике Е. И. Литневской.