Корректно: Часть заданий была полностью обработана.  

См. "Практическая стилистика современного русского языка" Ю. А. Бельчикова (М., 2008): "При подлежащем, выраженном количественно-именным сочетанием, в которое входят собирательные числительные двое, трое, четверо и существительное со значением лица, глагол-сказуемое ставится в форме множественного числа, если находится после подлежащего, но если сказуемое предшествует подлежащему, выраженному таким счетным оборотом, то предпочтительна форма единственного числа глагола-сказуемого".  

Словарями такое слово не зафиксировано, однако в художественных текстах изредка встречается прилагательное гаргантюанский: Он всю жизнь ощущал в себе что-то гаргантюанское [Василий Аксенов. Новый сладостный стиль (1997)]. 

Большой толковый словарь русских глаголов

СИМПАТИЗИРОВАТЬ, несов., кому. Относиться к кому-л. хорошо, с симпатией, испытывая влечение, внутреннее расположение; син. благоволить [impf. to sympathize (with), be in sympathy (with)]. Эти люди, которых Аня теперь защищала, которым симпатизировала, были действительно прекрасные люди.

Если мне кажется употребляется с последующим союзом что (как в примере из стихотворения Расула Гамзатова в переводе Н. Гребнева), то это главная часть сложноподчиненного предложения, а союз что открывает придаточную часть. Если же при мне кажется нет придаточной части с союзом что, как во втором вашем примере, то это вводное предложение.

О действии, которым руководит чувство долга: совершать что-то из чувства долга.

Благодарим за добрые слова и пожелания!

Употребление слова "обрел" в обороте "Фильм обрел новый трейлер" некорректно. Глагол "обрести" в русском языке характеризуется как принадлежащий к книжному стилю речи и обычно используется в значении "найти, приобрести что-то нематериальное, важное, духовное" — например, "обрести покой", "обрести надежду". Кроме того, хотя с грамматической точки зрения в этом предложении нет страдательного залога, логически фильм является не субъектом, а объектом "обретения" чего-л.

Слова хайп, лайк и другие подобные заимствования активно используются в современной речи, они уже не являются новыми, непривычными. Поэтому кавычки нужны только в двух случаях: 1) если автор текста хочет подчеркнуть некоторую разговорную окраску этих слов, используя их в более строгой речи; 2) если автор текста хочет подчеркнуть, что эти слова — чуждые его лексикону, что он знает об их существовании, но сам их не употребляет. Иными словами, используя кавычки, автор в той или иной мере дистанцируется от заключенных в них слов; кавычки тут означают что-то наподобие «это не я так говорю, это другие так говорят».

Этот вопрос поднимается регулярно. В практике письма используются оба варианта. Вариант Алма-Ата обычно используется в России, вариант Алматы принят в Казахстане.