Действует орфографическое правило: разделительный твердый знак пишется после приставок перед Е, Ю, Я.
См. в словарях.
Запятая не ставится: взял да и пошел.
Запятая ставится.
Запятая нужна: Оттолкнув меня, он взял трубку. Отделяется запятой деепричастный оборот.
Это предложение возможно в непринужденной разговорной речи. Если текст не должен передавать такую речь, предложение следует перестроить.
Предпочтительно: не происходит выравнивания.