Верно: ходатайство о чём-либо, поэтому: ходатайство об обучении.
Правильно: обучение (чему?) написанию изложения.
Правильно: достичь цели.
Допустимо: обучение через Интернет, в Интернете, с помощью Интернета.
Такое употребление – ошибка.
Какой смысл вкладывается в это словосочетание?
Оба варианта верны.