Верно: ходатайство о чём-либо, поэтому: ходатайство об обучении.
Такое употребление – ошибка.
Оба варианта верны.
Правильно: обучение (чему?) написанию изложения.
Если курс обучения завершен, то лучше использовать совершенный вид глагола: Иванову, прошедшему.
Верно с предлогом: Созданы условия для обучения и воспитания.
Допустимо: обучение через Интернет, в Интернете, с помощью Интернета.
Если имеется в виду, что людей учат водить мотоцикл, то верно: обучение вождению мотоцикла.