Правильно: в сиянье.
Правильно: чаячий, напр.: чаячий крик, чаячье гнездо.
Можно. См. ответ на вопрос № 176838.
Ударение в слове кáтанье в составе этого фразеологизма закреплено нормативными словарями в соответствии с традицией произнесения.
См. ответ на вопрос № 274479.
Корректно: две чайные ложки. При существительных женского рода, зависящих от числительных два, три, четыре (а также от составных числительных, оканчивающихся на указанные цифры), определение, находящееся между числительным и существительным, в современном языке ставится, как правило, в форме именительного падежа множественного числа.
Правильно в предложном падеже: в сиянии и в сиянье.
В этом выражении требуется раздельное написание: сохранить в тайне.
Да, корректно без запятой, т. к. деепричастие указывает здесь на образ действия, приближаясь по значению к наречию или к сочетанию существительного с предлогом, употребленному в обстоятельственном значении (ср.: без утайки).
