Предпочтительно: в выходные. На выходных – разговорно-просторечный вариант.
См. в Справочнике по фразеологии.
Само по себе выражение "тоска падает на душу" не вполне удачно. Выбор формы местоимения - за Вами.
Конструкция буду ехать используется в литературных произведениях, например: Еду я все еще по пустыне и долго буду ехать (И. А. Гончаров). О формах будущего времени глаголов совершенного вида и глаголов несовершенного вида см. в учебнике Е. И. Литневской (раздел Глагол).