Правильно: Николя-Жак Конте.
Верное управление: дан старт чему. Однако со словом университет сочетание неудачно.
Правильно: ван Эйк.
Правильно: Кусто Жак Ив, Кусто Жака Ива; Бельмондо Жан-Поль, Бельмондо Жан-Поля.
Правильно с прописной, кроме последнего примера.
СО РАН (отделение) обязано.
Склоняется следующим образом: Жан-Клод Ван Дамм, Жан-Клода Ван Дамма и т. д.
Тбилиси – существительное мужского рода.