Здесь верно написание строчными. С прописной буквы пишется первое слово в официальном названии, напр.: Пенсионный фонд Российской Федерации, Негосударственный пенсионный фонд «Газфонд».
Запятая факультативна.
Эту аббревиатуру нужно склонять.
Согласно Конституции Российской Федерации у нашей страны есть два равнозначных наименования – Российская Федерация и Россия, поэтому название Пенсионный фонд России возможно.