Верно: ходатайство о чём-либо, поэтому: ходатайство об обучении.
Приведите, пожалуйста, более обширный контекст.
Правильно: обучение (чему?) написанию изложения.
Сказуемое - хороший.
Допустимо: обучение через Интернет, в Интернете, с помощью Интернета.
Такое употребление – ошибка.
Оба варианта верны.