Стилистически нейтральная форма: высылаем двадцать три дипломата. В разговорной речи допустимо: высылаем двадцать трех дипломатов.
Все сочетания возможны.
Правильно: Победить трёх врагов. Существительное враг одушевленное. У одушевленных существительных форма винительного падежа совпадает с формой родительного. Числительное три согласуется с этой формой.
Это числительное.
Правильно: памятник кому-либо (памятник святителю). Но если слово памятник само стоит в дательном падеже, то вместо второго дательного употребляется родительный падеж: к памятнику святителя.
В именительном падеже сочетание невозможно. Правильно: в течение 23 суток.
Предпочтительно: около трех килограммов. Но и второй вариант не является ошибочным.
Верно: о трёх тысячах университетов.
