В значении "на планету" правильно: на Землю, на Солнце, на Марс и т. д.

Правильно слитное написание. Наречие втайне (то же, что «тайно») пишется слитно. Раздельно пишется сочетание предлога с существительным в тайне, ср.: сохранить план в тайне.

Да, слово Луна как астрономический термин – название спутника Земли – является именем собственным и пишется с прописной буквы. Однако в нетерминологическом значении, а также в значении 'спутник любой планеты' луна – нарицательное существительное: ничто не вечно под луной; две луны Марса.

Названия спутников (космических аппаратов) пишут в кавычках с большой буквы.

Без кавычек (как со словом рудник, так и без него).

Слово путник образовано от существительного путь с помощью суффикса -ник  (путник – тот, кто совершает путь пешком). А слово лесник образовано от прилагательного лесной с помощью суффикса -ик (лесник – лесной сторож, работник лесного хозяйства).