Лучше написать: период моды на...
Матаней называют частушку из двух стихов.
Предложение составлено верно.
Тунец – одушевленное существительное, правильно: нарезать тунца.
Здесь верно: дипломы лауреата.
Постановку тире можно объяснить тем, что первая часть предложения образована именительным темы. Обратите внимание, что пояснительный оборот требует обособления запятыми: Стиль модерн, или новый стиль, — так чаще всего называли в России направление в искусстве.
Можно повторить слово "стиль": мебель в стиле минимализма и в стиле модерн.