Правильно: на старт соревнования вышел 71 учащийся из 22 вузов.
Правильно: инструктажа педагогов и учащихся.
Правильно: учащийся муниципального общеобразовательного учреждения «Школа-интернат», учащийся МОУ «Школа-интернат».
Учащиеся.
Доводить до сведения информацию — стандартный оборот из официально-деловой речи. Выражение доносить информацию не представляется содержательным. Возможно, глаголы сообщать, информировать более уместны в тексте, в котором говорится об учащихся?
Такое причастие существует. В частности, оно встречается в поэтическом корпусе Национального корпуса русского языка.
Можно так: фамилия учащегося либо учащейся.
Нет, не корректно. Учащийся — человек, который учится в учебном заведении, а летние лагеря учебными заведениями не являются.