Пунктуация верна. Лучше: на спартакиаде.
Корректно без кавычек: Красная книга России.
Верно: Руководителя фракции партии «Единая Россия».
Грамматически верны оба варианта управления.
В этих предложениях слово Россия стоит в разных падежах (предложном и винительном), поэтому и окончания разные.
Правильно: присвоено звание Героя Российской Федерации.
Слово страна здесь совершенно лишнее: столица России. Если по каким-то причинам его всё-таки необходимо употребить, название склоняется: столица страны России.
Сочетание XXII зимняя Олимпиада не является официальным названием этого спортивного события, поэтому здесь "зимняя" со строчной.
См. также: 2869">http://www.gramota.ru/lenta/news/82869
Воспользуйтесь, пожалуйста, «Письмовником» и ресурсом «Проверка слова».