Грамматически верны оба варианта управления.
Корректно без кавычек: Красная книга России.
Верно: Руководителя фракции партии «Единая Россия».
Пунктуация верна. Лучше: на спартакиаде.
Суффикс -и[j]- (орфографически слова на -ия) используется при образовании слов, являющихся названиями стран и других территориальных единиц по национальному признаку: карел → Карелия, румын → Румыния, эфиоп → Эфиопия и т. п. Слово росс как название народности с XIX в. стало восприниматься как устаревшее, однако оно до сих пор фиксируется современными толковыми словарями русского языка (см., например «Большой толковый словарь» под ред. С. А. Кузнецова). Употребительность слова подкрепляется названием членов партии «Единая Россия» ― единороссы. Поэтому есть все основания в слове Россия выделять корень росс-.
В этих предложениях слово Россия стоит в разных падежах (предложном и винительном), поэтому и окончания разные.
Правильно: присвоено звание Героя Российской Федерации.
Слово страна здесь совершенно лишнее: столица России. Если по каким-то причинам его всё-таки необходимо употребить, название склоняется: столица страны России.
