Верны оба варианта: научные стажировки за рубежом и зарубежные научные стажировки. Если мы не вполне поняли Ваш вопрос, пожалуйста, уточните его.
См. в пособии Е. Литневской.
Это имя склонять не нужно.
В данном случае слово собственно выполняет функцию ограничительной частицы и не выделяется знаками препинания (см. «Справочник по пунктуации»). Следует заметить, что в предложении то же ограничительное значение имеет местоимение самой. Плеоназм желательно устранить, оставив только одно из названных слов.
Орфографически корректное написание: научный центр "Сколково", Инноград.
Нет, выделять запятыми слово собственно в Вашем примере не нужно.