В общем случае тире после местоимения-подлежащего перед именным сказуемым не ставится. При этом более широкий контекст (который здесь не приведен) может указывать на уместность постановки тире.
Кавычки не нужны.
Верно: памяти оставшихся в горах.
Грамматически правильно: в память кого? – участников (воспоминание о ком-либо), в память о ком? – об участниках (напоминание о ком-либо).
Верно: двигательная память.
Верен первый вариант.
В "медицинском" смысле верно: ...сохранением их памяти. В "мемориальном" смысле: ...сохранением памяти о них.