Это имя не склоняется.
Название склонять не следует: стартовал на «Ролан Гаррос».
Да, этот корень можно отнести к чередующимся. См. ответ на вопрос № 267619.
Предложение неудачно.
Да, это название заключается в кавычки.
Корректно: чемпионат Франции по теннису «Ролан Гаррос». Обратите внимание на опечатку в слове теннис.
Правильно без точки после кавычек, поскольку прямая речь оканчивается знаком конца предложения, в данном случае вопросительным.
Этому вопросу посвящена статья в рубрике "Письмовник": 90">http://www.gramota.ru/spravka/letters/?rub=rubric90.