Корректны оба варианта.
Виталию Павлюку. А вот женскую фамилию склонять не следует.
Мужская фамилия Цай склоняется: назначить Цая Виталия Валерьевича... Подробнее см. в «Письмовнике».
Верно - без предлога "со".
Названия станций метрополитена заключаются в кавычки. Правильные варианты: м. «Сокол», ст. м. «Сокол».