Трудно дать однозначный ответ, не зная контекста. Если это прозвище доктора, которое функционирует как имя (в том числе, например, имя персонажа художественного произведения), правильно писать оба слова с прописных, например: «Вот и всё», — сказал Умелые Руки, закончив перевязку. Если же речь о том, что доктор умелец, корректно строчными, например: Василий у нас доктор «умелые руки», советую к нему обратиться. Ср. также: доктор у нас умелые руки.
Оба варианта верны. Выбор делает автор текста.
Можно и передать эстафету (это делает тот, кто отдает эстафетную палочку) и перенять (это делает тот, кто ее принимает).
Глагол заключается может выступать как синоним связочного глагола быть.
Правильно: всё валилось из рук.
Использование предлога на в этом случае невозможно: он меняет смысл предложения.
Верно: надеть перчатки на руки.
В ваших примерах лучше выбрать форму множественного числа.
Корректно слитное написание.
