Можно использовать оба глагола. По смыслу здесь больше подходит слово ванна, чем ванная. Верно: купаться в ванне, мыться в ванне.
Угнаться – глагол второго спряжения, как и глагол гнать (входит в список исключений), от которого он образован.
Оба варианта возможны.