Пишется раздельно.
Кавычки не нужны.
Правильно: на пуху.
Что именно Вас смущает в этой фразе? Если вопрос о склонении фамилии, то можем ответить так: фамилию Мун склонять нужно, если она принадлежит мужчине.
Склоняется только мужская фамилия Дед.
Эти фамилии склоняются как соответствующие нарицательные существительные, без различия, принадлежат ли они женщинам или мужчинам.
Это сочетание не является вводным и не обособляется.