Можно сказать: петь под караоке (ср.: под фонограмму), петь с караоке.
Поскольку названия кораблей — условные наименования, наподобие названий литературных, музыкальных и т. д. произведений, в них используются кавычки всегда, независимо от наличия или отсутствия родового слова: «Ниагара» и «Доблестный» отправились в путь (сравним: «Утро в сосновом лесу» было написано в 1889 году).
Корректно: работает на дистанции пути.
Запятая не нужна, если слово "пусть" относится к обеим частям сложного предложения.
2. Предложение безличное, слово достаточно выступает в роли сказуемого. В подобных случаях слово достаточно требует родительного падежа, например: У него достаточно сил. Этих денег нам вполне достаточно.
Это определенно-личное предложение. Возможна его трактовка как обобщенно-личного, но в таком случае оно не должно относиться к конкретной ситуации и конкретному адресату в этой ситуации, а должно представлять собой некий общий совет, призыв, подобный, например, такому: Любите театр!
Верно: непростой, но интересный путь (т. е. сложный, но интересный путь).
"Куда путь держишь?" - куда направляешься.
Если это предложение в тексте, то уместен вариант с тире, сочетание от идеи к внедрению будет играть роль сказуемого при подлежащем путь (рационализатора). Если же это заголовок текста, то корректен вариант с двоеточием: первая часть таких заголовочных конструкций называет общую проблему, а вторая — содержит конкретизацию названного в первой части.
В обоих случаях перед и снова в путь лучше поставить тире.
