Оба варианта возможны.
Верно: ходатайство о чём-либо, поэтому: ходатайство об обучении.
Приведите, пожалуйста, более обширный контекст.
Плохо: в процессе обучения отечественной истории, лучше: при изучении истории. Кроме того, чтобы сделать предложение не столь зубодробительным, возможно, лучше его перестроить. Например: Чтобы подготовить... необходимо использовать...
Правильно: обучение (чему?) написанию изложения.
Оба варианта неудачны. Можно грамотно говорить, писать, изъясняться по-английски, по-русски.
Допустимо: обучение через Интернет, в Интернете, с помощью Интернета.
Это, кажется, бессмысленное выражение.