Верно: ходатайство о чём-либо, поэтому: ходатайство об обучении.
Приведите, пожалуйста, более обширный контекст.
Верен первый вариант.
Правильно: обучение (чему?) написанию изложения.
Допустимо: обучение через Интернет, в Интернете, с помощью Интернета.
Запятая не ставится.
Такое употребление – ошибка.
Согласно словарям, в этом контексте уместны оба варианта: и /учение, и об/учение.