Кавычки нужны: сотрудники "Почты России"...
Корректная пунктуация: Отправьте, пожалуйста, с Вашей почты письмо с темой "Тест" на нашу почту: support@...com.
Хоть шаром покати = пусто, ничего нет.
Можно написать: отправлять по электронной почте, на адрес электронной почты.
Пунктуация верна, запятая перед что не требуется.
Обратите внимание, что смысл предложения не вполне ясен с первого прочтения. Мы предполагаем, что имеется в виду "есть что посмотреть", но рекомендуем по возможности перестроить предложение.
Верен первый вариант.