В этом предложении не требуется постановка тире.
Существительное, относящееся к глаголу (а причастие – форма глагола) с отрицанием, может иметь форму родительного или винительного падежа. Если при зависимом существительном есть слова никакой, ничей, ни один, выбирается родительный падеж: не оскорбляющий ничьих религиозных чувств.
В обоих случаях корректно раздельное написание.
Пунктуация верна.
Лучше: Как не потерять лицо?
В современном русском языке это непроизводное слово. Исторически оно мотивировано древнерусским глаголом чувати (ср.: чуять).
Запятая нужна: оборот помимо удовольствия от свежей зелени нужно выделить с двух сторон.