Да, это название склоняется: церковь в Кижах.
С большой буквы пишется только первое слово: Русская православная церковь.
Фундаментальная "Православная энциклопедия" фиксирует вариант с запятой.
В этимологическом отношении очень неясное слово, несомненно, заимствованное. По мнению одних этимологов (их большинство), оно заимствовано оно восходит к раннедревненемецкому, древневерхненемецкому или позднеготическому. Другие языковеды с большим основанием полагают, что источник заимствования – греческий язык, откуда это слово попало и в германские языки.
Вам нужна справка о соотношении вариантов имен. В Москве такую справку можно получить в Институте русского языка им. В. В. Виноградова РАН.
Оба способа оформления корректны.
Это имя не склоняется.
В современном русском языке ударение в этом слове нельзя считать устоявшимся.
