Верно: пойти на рынок.
Употребительнее: забросили удочки.
Корректно с НИ.
См. ответ на вопрос № 274748.
Обычно употребляют варианты: зайти на сайт, войти на сайт.
Правильный только один вариант: щекОтно. Остальные варианты рассматриваются как неправильные. См. окно «Искать на Грамоте» (орфографический словарь, словарь трудностей, словарь ударения).