Верно: пойти на рынок.
Обычно употребляют варианты: зайти на сайт, войти на сайт.
См. ответ на вопрос № 274748.
Правильно: пойти за молоком.
Правильный только один вариант: щекОтно. Остальные варианты рассматриваются как неправильные. См. окно «Искать на Грамоте» (орфографический словарь, словарь трудностей, словарь ударения).
Да, корректно с тире: Почти сразу — дырки на подмышках...